Les lapins et la suite de Fibonacci

    Leonoardo Pisano, plus souvent connu sous le nom de Leonardo Fibonacci, est un célèbre mathématicien italien. Nous allons, dans cette rubrique, nous intérésser au problème qu'il a proposé au sujet des lapins:

    "Possédant initialement un couple de lapins, combien de couples obtient-on en huit mois si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du second mois de son existence?"

    Il a cependant émis certaines conditions pour que son énigme soit possible:

- au mois 0, il y a uniquement un couple de lapins (qui sont pour le moment adolescents).

- les lapins ne sont fécondables qu'à partir du deuxième mois.

- chaque mois, toute paire susceptible de procréer donne bien naissance à un nouveau couple.

- les lapins ne meurent jamais.

     Suite à ce tableau récapitulatif du problème posé par Fibonacci, nous pouvons constater que le nombre de couples au total (chiffres en orange) sont les termes de la suite de Fibonacci.

     Nous allons maintenant essayer d'obtenir une formule qui nous permettrait de trouver chaque terme de la suite. Cependant, avant de la mettre en évidence, il nous faut connaitre le nombre de couples parents à un certain mois, appelé "n" ainsi que le nombe total de couples au mois précédent (c'est à dire au mois n-1).

On pose :

: nombre de mois

T : total des couples de lapins

B : couples bébés

A : couples adolescents (non fécondable ce premier mois)

P : couples adultes (en âge de procréer)

On a donc:

Tn = Bn + An + Pn

Tn = Bn + Bn-1 + An-1 + Pn-1

Tn = Bn + Tn-1

Tn = Pn + Tn-1

Prenons un exemple concret :

Nous allons appliquer cette formule au mois 5 (n = 5)

D'après le tableau, nous savons que Pn = 3 et Tn-1 = 5

Tn = Pn + Tn-1

Tn = 3 + 5

Tn = 8

La suite de Fibonacci s'obtient donc à partir de l'addition des deux termes précédents.

 

   De plus, nous pouvons remarquer que si on divise deux nombres consécutifs de cette suite (le plus grand par le plus petit), le résultat est proche du nombre d'or.

Par exemple, Tn+1/Tn = 8/5 = 1.6

La suite étant: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765...  essayons de diviser des nombres plus grands.

144/89=1,618    

Ainsi, plus on choisit de grands termes, plus le résultat de leur division s'approchera du nombre d'or.

Par exemple, pour n=20, le rapport donne le nombre d'or avec sept décimales exactes!

En effet, Tn+1/Tn = T21/ T20 = 6765/4181= 1.6180339       Or, comme vous le savez, φ=1,6180339...

 

   Il sera intéréssant de trouver une formule qui nous permettra de mettre en évidence les termes de la suite, sans avoir aucune donnée au préalable. Nous approfondirons cette suite dans la rubrique "La suite de Fibonacci".

   Maintenant, revenons à l'exemple des lapins. Ci dessous se trouve une courbe qui représente le nombre de couples en fonction du temps; c'est à dire du nombre de mois ou encore de n.

   D'après cette courbe nous constatons que si (comme l'avait expliqué Fibonacci), nous tenons compte du fait que les lapins ne meurent jamais, alors nous remarquons que cette suite est toujouts croissante. Il faut tout de même préciser que nous avons pris l'exemple des lapins mais que cette courbe s'applique aussi à la suite de Fibonacci en général. Allez dans la rubrique suivante découvrir certains aspects mathématique de cette suite!

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