Lien entre la suite de Fibonnacci et le Nombre d'or

     Léonardo Pissano est un célèbre mathématicien physicien, plutôt connu sous le nom de Léonardo Fibonacci. C'est lui qui a mis au point un problème de lapins (que vous trouverez dans la rubrique "les lapins"). Grâce à cette énigme, il a mis en évidence cette suite qui porte son nom.

     Dans cette partie, nous chercherons à démontrer le lien qu'il y a entre cette fameuse suite  et le nombre d'or (ceci étant nécessaire pour poursuivre nos travaux).  La suite de Fibonnacci est infinie et s'obtient à partir de l'addition des deux termes précedents.
On obtient ainsi les nombres suivants : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946… Pour éviter tout malentendu, rappelons immédiatement que lorsque nous parlons du terme 0, il s'agit de 0. Le terme 1 correspond à 1; le 2 est aussi 1 (d'où U1 = U2 = 1) , le 3 est 2... Il suffit simplement de compter les termes dans l'ordre de la suite en n'oubliant pas qu'il y a un terme 0.

Nous allons tenter de trouver le terme général de la suite, qui s'applique à chacun des nombres de cette suite. C'est une suite appelée suite RL2 ou suite réccurente linéaire d'ordre 2.

On cherche Un, n≥0 exprimé par rapport à n. Par définition, on connaît U0=0 et U1=1.

On pose alors, quelque soit n appartenant à l'ensemble d'entiers naturels,

Un+2=Un+1 + Un

Un+2 - Un+1 - U

L'équation caractéristique associée est r2- r -1=0 avec a = 1, b = -1 et c = -1

r2 - r - 1 = 0

On cherche le discriminant:

Δ= b2- 4ac

Δ= (-1)2 -4×1×(-1)

Δ=1+4=5

x1=(-b-√Δ)/(2a) =(-(-1)-√5)/2 =(1-√5)/2

x2=(-b+√Δ)/(2a) =(-(-1)+√5)/2 =(1+√5)/2                    étrange similitude, (1+√5)/2 =1,618 =φ

Quelque soit n appartenant à un entier positif, il existe (α ;β) appartenant à R2.

Un=α ((1-√5)/2)n +β((1+√5)/2)n

Nous cherchons maintenant les valeurs de α et de β.

On pose le système suivant:

U0 =0 =α((1-√5)/2)0 + β((1+√5)/2)0

α+β=0 

On mulitplie α+β =0 par (1-√5)/2 afin de pouvoir appliquer la soustraction de plusieurs termes dans un système.

↔α(1-√5)/2 +β(1-√5)/2 =0

U1 =1 =α((1-√5)/2)1 + β((1+√5)/2)1

On soustrait les deux lignes du système, ce qui nous amène à :

0+β(1+√5)/2 -β(1-√5)/2 =1

β(1-1+√5+√5)/2 =1

β(2√5)/2 =1

β=1/√5

D'après α+β=0, on en déduit que :

α+1/√5=0

α=-1/√5

On obtient donc : Un= (-1/√5) × ((1-√5)/2)n + 1/√5 × ((1+√5)/2)n quelque soit n appartenant à l'ensemble d'entiers naturels.

 

Nous allons maintenant vérifier si la formule trouvée correspond bien à la suite de Fibonacci. Pour cela, prenons un exemple.

Essayons avec n=2

U2 = (-1/√5) × ((1-√5)/2)2 + (1/√5) × ((1+√5)/2)2

U2 =(-1/√5) × (1-2√5+5)/4 + (1/√5) × (1+2√5)/4

U2 = (-1+2√5-5+1+2√5+2)/(4√5)

U2 =(4√5)/(4√5)

U2 =1     La formule trouvée correspond bien à la suite puisque le second terme de la suite est bien égal à 1.

 

Nous allons à présent chercher les limites de la suite de Fibonacci :

Un = (-1/√5) × ((1-√5)/2)n + (1/√5) × ((1+√5)/2)n

Occupons nous d'abord du premier produit:

Nous allons essayer de savoir si ((1-√5)/2)n est plus petit que 1. Pour le moment c'est uniquement une hypotèse.

(1-√5)/2<1

1-√5<2

√5>-1

5>1              L'hypotèse est confirmée.

-1< (1-√5)/2 <1

Or si la valeure absolue d'un nombre est plus petite que 1, sa limite est égale à 0. limn→+∞((1-√5)/2)n=0

Maintenant, faisons la même chose pour le deuxième terme:

Emettons l'hypotèse que (1+√5)/2 <1

1+√5<2

√5<1

5<1              Ce résultat est faux; l'hypotèse n'est donc pas vérifiée.

donc (1+√5)/2)n>1

Ainsi limn→+∞((1+√5)/2)n=+∞

En résumé, ((1-√5)/2)n tend vers 0    et    ((1+√5)/2)n tend vers +∞

    

   Grâce à toutes ces démonstrations, nous pouvons maintenant bien affirmer que la suite de Fibonacci et le nombre d'or sont fortement liés. Tout cela nous servira pour les rubriques suivantes, notamment pour l'étude de la fleur de tournesol. 

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